Aralarında Asal Sayılar
Aralarında asal sayılar, yalnızca bir ortak böleni veya çarpanı, yani 1 olan sayılardır. Bu, bir sayı çiftinin en büyük ortak böleni 1 olduğunda aralarında asal olduğu anlamına gelir. Aralarında asal sayıları tanımlamanın farklı yolları vardır. Bu yazıda, Matematikte aralarında asal sayıların ne olduğunu, basit hileler ve ipuçlarını kullanarak aralarında asal sayıların nasıl belirleneceğini örneklerle birlikte anlayacaksınız.
Aralarında asal sayıların matematiksel terimlerle tanımına ve temsiline bir göz atalım.
Aralarında Asal Sayılar nedir?
x ve y’nin iki pozitif tamsayı olduğunu ve ancak ve ancak tek ortak bölenlerinin 1 olması ve dolayısıyla EBOB(x, y) = 1 olması durumunda aralarında asal sayılar olarak adlandırılacak iki pozitif tam sayı olduğunu varsayalım. Başka bir deyişle, aralarında asal sayılar bir kümedir ortak böleni yalnızca 1 olan sayıların veya tamsayıların, yani en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) 1 olacağı. Birlikte asal sayılar, görece asal veya karşılıklı asal sayılar olarak da bilinir. Aralarında asal oluşturmak için iki sayının olması önemlidir.
Aralarında Asal Sayılar Nasıl Bulunur?
İki sayı kümesini ele alalım, eğer her ikisini birden bölebilecek pozitif bir tam sayı yoksa, 1’den başka sayı çifti aralarında asaldır.
Örnek 1: 21 ve 22
21 ve 22 için:
- 21’in çarpanları 1, 3, 7 ve 21’dir.
- 22’nin çarpanları 1, 2, 11 ve 22’dir.
Burada 21 ve 22’nin tek ortak böleni 1’dir. Dolayısıyla, EBOB’u 1’dir ve aralarında asaldır.
Örnek 2: 21 ve 27
21 ve 27 için:
- 21’in çarpanları 1, 3, 7 ve 21’dir.
- 27’nin çarpanları 1, 3, 9 ve 27’dir.
Burada 21 ve 27’nin iki ortak böleni vardır; 1 ve 3’tür. EBOB 3’tür ve asal değildirler.
Aralarında Asal Sayılar Listesi
Aşağıdaki tablo ortak asal sayıların listesini göstermektedir.
| Sayı | Aralarında Asal Sayılar Çiftleri |
| 1 | (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5) (1, 6),….., (1, 20),…. |
| 2 | (2, 3), (2, 5), (2, 7), (2, 9), …, (2, 15),….. |
| 3 | (3, 4), (3, 5), (3, 7), (3, 10), (3, 11),…., (3, 20),… |
| 4 | (4, 5), (4, 7), (4, 9), (4, 11), (4, 13), (4, 15),…. |
| 5 | (5, 6), (5, 7), (5, 8), (5, 9), (5, 11), (5, 12),… |
Aralarında Asal Sayıların Özellikleri
Aralarında asal sayıların bazı özellikleri aşağıdaki gibidir. Bunlara aralarında asal sayı çiftlerini hızlı bir şekilde belirleme hileleri denir.
- 1 her sayı ile aralarında asaldır.
- Herhangi iki asal sayı birbiriyle aralarında asaldır: Her asal sayının yalnızca iki çarpanı 1 ve sayının kendisi olduğundan, iki asal sayının tek ortak böleni 1 olacaktır. Örneğin, 2 ve 3 iki asal sayıdır. 2’nin çarpanları 1, 2 ve 3’ün çarpanları 1, 3’tür. Tek ortak bölen 1’dir ve dolayısıyla aralarında asaldır.
- Ardışık herhangi iki sayı/tamsayı her zaman aralarında asaldır: 2, 3 veya 3, 4 veya 5, 6 gibi ardışık sayıları alın; HCF’leri olarak 1’e sahipler.
- Herhangi iki asal sayının toplamı her zaman kendi çarpımlarıyla aralarında asaldır: 2 ve 3 aralarında asaldır ve toplamları 5’tir (2+3) ve çarpımları 6’dır (2×3). Bu nedenle 5 ve 6 aralarında asaldır.
- Tüm çift sayıların ortak böleni 2 olduğundan, iki çift sayı asla bir aralarında asal çift oluşturamaz.
- İki sayının birim basamakları 0 ve 5 ise, bunlar birbirleriyle asal değildir. Örneğin, HCF’leri 5 (veya 5’e bölünebilir) olduğu için 10 ve 15 aralarında asal değildir.
1’den 100’e Kadar Aralarında Asal Sayılar
Yukarıdaki özellikleri izleyen, 1’den 100’e kadar birkaç aralarında asal sayı çifti vardır. Onlardan bazıları:
(13, 14)
(28, 57)
(1, 99)
(2, 97)
(46, 67)
(75, 41) ve bunun gibi..
Ayrıca (22, 1), (31, 1), (4, 1), (90, 1), (1, 100) gibi 1’in birleşimi olan herhangi bir sayıyı aralarında asal çift olarak yazabiliriz. Bu şekilde 1’den 100’e kadar birçok aralarında asal sayı tanımlanır.
Aralarında Asal Sayılar ve İkiz Asal Sayılar
Aralarında asal sayıların HCF’si 1 olan sayılar olduğunu biliyoruz, (yani) ortak böleni yalnızca 1 olan iki sayıya aralarında asal sayılar denir. Öte yandan ikiz asal sayılar, farkı her zaman 2 olan asal sayılardır. Örneğin, 3 ile 5 arasındaki fark 2’dir ve dolayısıyla 3 ile 5 ikiz asal sayılardır. İkiz asal ve aralarında asal sayılar arasındaki en büyük fark aşağıdaki gibidir:
- İki ikiz asal sayı arasındaki fark her zaman 2’ye eşittir, oysa iki asal sayı arasındaki fark herhangi bir sayı olabilir.
- İkiz asal sayılar her zaman asal sayılardır, oysa aralarında asal sayılar da bir bileşik sayı olabilir.
Konsepti daha iyi anlamak için aşağıda verilen asal sayılar örneklerini inceleyin.
Aralarında Asal Sayılarla İlgili Örnek Soru
Soru 1:
13 ve 31’in aralarında asal olup olmadığını kontrol edin.
Çözüm:
13 ve 31 iki asal sayıdır; bu nedenle, birbirleriyle asaldırlar.
13’ün çarpanları 1 ve 13’tür. 31’in çarpanları 1 ve 31’dir.
Ortak bölenleri sadece 1’dir. Yani asal sayılardır.
Soru 2:
150 ve 295’in ortak asal olup olmadığını kontrol edin.
Çözüm:
Verilen iki sayı: 150 ve 295
150 ve 295 5’e bölünebilir.
Aralarında asal sayıların özelliklerinden, 150 ve 295 aralarında asal değildir.
Alternatif olarak,
150 = 2×3×5×5
295 = 5 × 59
EBOB(150, 295) = 5 ≠ 1
Bu nedenle, 150 ve 295 aralarında asal değildir.
Alıştırma Problemleri
- 216 ve 215’in herhangi bir aralarında asal sayısını yazın.
- 35 ve 37 aralarında asal mıdır?
- 41 ve 44 aralarında asal sayılardır. Doğru ya da yanlış.
Aralarında Asal Sayılarla İlgili Sıkça Sorulan Sorular
Aralarında asal sayılar nedir?
Birlikte asal sayılar veya göreli olarak asal sayılar, EBOB’u (En Büyük Ortak Bölen) 1 olan sayılardır. Başka bir deyişle, 1’den başka ortak bölenleri yoksa iki sayı birlikte asaldır.
Asal ve aralarında asal sayı arasındaki fark nedir?
Asal sayı, 1 ve kendisinden başka çarpanı olmayan sayı olarak tanımlanır. Aksine, birlikte asal sayılar çift olarak kabul edilir ve 1’den başka ortak bölenleri yoksa iki sayı da asaldır.
Bir Sayının Aralarında Asalını Nasıl Bulursunuz?
Bir sayının asalını bulmak için önce sayının çarpanlarını bulun. Ardından, herhangi bir sayı seçin ve seçilen sayının çarpanlarını bulun. 1’den başka ortak böleni olmayan tüm sayılar, verilen sayının aralarında asal olacaktır.
18 ve 35 Aralarında Asal Sayılar mı?
Evet, 18 ve 35 aralarında asal sayılardır. 18’in çarpanları 1, 2, 3, 6, 9 ve 18’dir; 35’in çarpanları ise 1, 5, 7 ve 35’tir. EBOB 1 olduğu için aralarında asaldır.
Tüm sayılar için 1 araların asal mı?
Evet, 1 tüm sayılar için aralarında asaldır. 1’in EBOB’u ve herhangi bir sayının kendisi 1 olduğundan. Dolayısıyla, aralarında asal sayıların tanımı gereği, 1’in tüm sayılarla aralarında asal olduğu söylenir.