Asal Sayılar

Asal sayılar, yalnızca 1'e ve sayının kendisine bölünebilen doğal sayılardır. Başka bir deyişle asal sayılar, 1 ve sayının kendisi olmak üzere tam olarak iki çarpanı olan 1'den büyük pozitif tam sayılardır. Asal sayılardan bazıları 2, 3, 5, 7, 11 ve 13'tür. 4, 6, 8, 9, 10 ve 12 ise asal sayı değildir, çünkü bu sayıların ikiden fazla böleni veya çarpanı bulunmaktadır. Ayrıca 1 dışında kalan sayıların asal ve bileşik sayılar olarak tanımlı olduğunu söyleyebiliriz. 2 dışında tüm asal sayılar (3, 5, 7, 11...) tek sayılardır. 2 en küçük asal sayıdır ve çift olan tek asal sayıdır.

İlk 10 asal sayı:

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ve 29'dur.

Not: 1'in asal sayı tanımına uymadığı için asal olarak kabul edilmediği unutulmamalıdır.

Sizlerle asal sayıların tanımını, anlamını, özelliklerini, tarihçesini, tablosunu, 1'in neden asal olmadığını, 1'den 100'e ve 1000'e kadar asal sayıların listesini, grafiğini, asal sayılar ile bileşik sayılar arasındaki farkları ve formülleri kullanarak asal sayıları nasıl bulabileceğimizi öğreneceğiz.

Asal Sayıların Özellikleri

Asal sayıların özellikleri aşağıda listelenmiştir:

• 1'den büyük her sayı en az bir asal sayıya bölünebilir.
• 2'den büyük her çift pozitif tam sayı, iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebilir.
• 2 hariç diğer tüm asal sayılar (3, 5, 7...) tektir. Başka bir deyişle, 2 haricinde başka bir çift asal sayı bulunmamaktadır.
• İki asal sayı aynı zamanda birbiriyle asaldır.
• Her bileşik sayı, asal çarpanlara ayrılabilir ve bunların hepsi tek tek doğada benzersizdir.

1 Asal Sayı Mıdır?

Asal sayılar konusunda 1 asal sayı mıdır veya 1 neden asal sayı değildir konusu merak edilir. Asal sayının yaygın bir tanımı olarak bir sayı yalnızca 1'e ve sayının kendisine bölünebiliyorsa asal sayıdır. Örneğin:

• 7 asaldır, çünkü hem 1'e hem de kendisine yani 7'ye bölünebilir.
• 8 asal değildir. 8 sayısı 1'e ve 8'e bölünebilir ancak bunun haricinde 2 ve 4'de de bölünebilir.

Asal sayı tanımına göre düşündüğümüzde bir sayı sadece kendisine ve 1'e bölünüyorsa bu asal sayı olduğu anlamına gelir. Bu durumda 1 sayısı, 1'e ve aynı zamanda kendisine yani 1'e bölünebildiği için karşımıza sadece 1 sayısı çıkmaktadır. Bu da 1'in asal sayı olmadığı anlamına gelir.

Bununla birlikte modern matematikçilere göre bir sayı tam olarak iki farklı sayıya bölünüyorsa o sayıyı asal olarak tanımlarlar. Örneğin:

• 5 asaldır, çünkü iki farklı tam böleni vardır. Bunlar 1 ve 5'tir.
• 9 asal değildir, çünkü 1, 3 ve 9 olmak üzere üç sayıya tam bölünür.

Tanıma göre bir sayının sadece 2 farklı tam böleni varsa asaldır. Bu durumda 1 sayısı yalnızca bir sayıya, yani 1'e bölünebildiği için 1 asal sayı değildir.

Örneğin; 2, 3, 5, 7, 11, vb. tüm pozitif tamsayılarda, hepsi ya 1'e ya da kendisine bölünebilir, yani tam olarak iki pozitif tam sayı böleni vardır.

Matematiksel tanımların geliştiğini ve değiştiğini hatırlamak önemlidir. Tarih boyunca, birçok matematikçi 1'i asal sayı olarak kabul etti, ancak bu artık yaygın bir görüş değil. Bir sayının tam olarak iki çarpanı olması gerektiğini belirten asal sayı tanımına göre, ancak 1 sayısının bir ve yalnızca bir çarpanı vardır. Bu nedenle 1, bir Asal sayı olarak kabul edilmez.

Asal Sayı Tablosu

Hesap makinelerinden ve bilgisayarlardan önce, tüm asalları veya asal çarpanlara ayırmaları belirli bir sınıra kadar kaydetmek için sayısal tablolar kullanılıyordu ve genellikle yazdırılırdı. Asal sayıların bir listesini üretmenin en sevilen yöntemine Eratosthenes eleği denir. Bu yöntem, aşağıda verilen Eratosthenes şeması adı verilen bir çizelgeyle sonuçlanır. Aşağıdaki asal sayı tablosu 1'den 100'e kadar olan asal sayıları renkli kutular içinde göstermektedir.

1 ile 100 arasında 25 asal sayı vardır. Bunlar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 , 71, 73, 79, 83, 89 ve 97 sayısıdır. Tüm bu sayılar yalnızca 1'e ve sayının kendisine bölünen sayılardır. Bu nedenle bu sayılara asal sayılar denir. Ayrıca bunlar ilk 25 asal sayıdır.

1'den 100'e Kadar Asal Sayılar

1 sayısından başlayarak asal sayılar 100'e kadar sayıldığında 25 asal sayı buluruz. 1'den 100'e kadar asal sayılar:

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

1'den 1000'e Kadar Asal Sayılar

Asal sayılar 1000'e kadar sayıldığında 168 asal sayı buluruz. 1'den 1000'e kadar asal sayılar:

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Asal Sayılar Hakkında Gerçekler

Aşağıdaki tablo asal sayılarla ilgili önemli noktaları göstermektedir. Bunlar, matematikteki birçok problemi çözmenize yardımcı olacaktır.

Asal Sayılar Nasıl Bulunur?

Asal sayılar nasıl bulunur öğrenmek için aşağıdaki iki yöntem, verilen sayının asal olup olmadığını bulmanıza yardımcı olacaktır.

Yöntem 1:

2'nin tek çift asal sayı olduğunu biliyoruz. Ve sadece ardışık iki asal doğal sayı 2 ve 3'tür. Bunların dışındaki her asal sayı 6n + 1 veya 6n – 1 şeklinde yazılabilir (asal sayıların katları hariç, yani 2, 3, 5, 7, 11), burada n bir doğal sayıdır.

Örneğin:

• 6(1) – 1 = 5
• 6(1) + 1 = 7
• 6(2) – 1 = 11
• 6(2) + 1 = 13
• 6(3) – 1 = 17
• 6(3) + 1 = 19
• 6(4) – 1 = 23
• 6(4) + 1 = 25 (5'in katı)
• ...

Yöntem 2:

40'tan büyük asal sayıları bilmek için aşağıdaki formül kullanılabilir. n2 + n + 41, burada n = 0, 1, 2, ….., 39

Örneğin:

• (0)2 + 0 + 0 = 41
• (1)2 + 1 + 41 = 43
• (2)2 + 2 + 41 = 47
• …..

Asal Sayılar ve Bileşik Sayılar

Asal sayılar ve bileşik sayılar arasındaki birkaç fark aşağıda tablo halinde verilmiştir:

Asal Sayıların Tarihi

Asal sayılar binlerce yıldır incelenmektedir. Öklid'in MÖ 300 dolaylarında yayınladığı "Elements" adlı eseri, asal sayılarla ilgili birçok sonucu kanıtladı. "Elementler"in IX. Kitabında Öklid, sonsuz sayıda asal sayı olduğunu yazar. Öklid ayrıca Aritmetiğin Temel Teoreminin kanıtını da sağlar - her tamsayı benzersiz bir şekilde asalların çarpımı olarak yazılabilir. Öklid, "Öğeler"de, pozitif bölenlerinin toplamına eşit pozitif bir tam sayı olan mükemmel bir sayının nasıl yaratılacağı problemini Mersenne asallarını kullanarak çözer. Mersenne asalı, 2n-1 denklemi ile hesaplanabilen bir asal sayıdır.

MÖ 200'de Eratosthenes, Eratosthenes Eleği olarak bilinen asal sayıları hesaplayan bir algoritma yarattı. Bu algoritma şimdiye kadar yazılmış en eski algoritmalardan biridir. Eratosthenes sayıları bir ızgaraya koydu ve ardından ızgaradaki en büyük sayının karekökü çizilene kadar sayıların tüm katlarının üzerini çizdi. Örneğin, 1'den 100'e kadar olan bir tabloyla 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ve 10'un katlarını çizersiniz, çünkü 10, 100'ün kareköküdür. , 9 ve 10 diğer sayıların katlarıdır, artık bu katlar için endişelenmenize gerek yok. Yani bu tablo için, 2, 3, 5 ve 7'nin katlarının üstünü çizersiniz. Bu katların üstü çizildiğinde, geriye kalan ve üzeri çizilmemiş tek sayılar asal sayılardır. Bu elek, birinin büyük miktarlarda asal sayı bulmasını sağlar.

Ancak, akıl ve bilimin bastırıldığı Karanlık Çağlarda asal sayılarla daha fazla çalışma yapılmadı. 17. yüzyılda Fermat, Euler ve Gauss gibi matematikçiler asal sayıların içindeki kalıpları incelemeye başladılar. O dönemde matematikçiler tarafından ortaya atılan varsayımlar ve teoriler matematikte devrim yarattı ve bazıları bugüne kadar henüz kanıtlanmadı. Aslında, Bernhard Riemann'ın asal sayılardaki örüntüler hakkındaki teorisine dayanan Riemann Varsayımı'nın kanıtı, Clay Matematik Enstitüsü'nden 1 milyon dolarlık bir ödül taşıyor.

Asal Sayılar ve Şifreleme

1978'de üç araştırmacı, asal sayıları kullanarak kodlanmış mesajları karıştırmanın ve çözmenin bir yolunu keşfetti. Bu erken şifreleme biçimi, elektronik ticaretin kalbine asal sayıları koyarak İnternet güvenliğinin yolunu açtı. Açık anahtarlı şifreleme veya RSA şifrelemesi, tüm zamanların güvenli işlemlerini basitleştirmiştir. Bu tür kriptografinin güvenliği, iki büyük asal sayının çarpımı olan büyük bileşik sayıları çarpanlara ayırmanın zorluğuna dayanır.

Modern bankacılık ve ticaret sistemlerine duyulan güven, büyük bileşik sayıların kısa sürede çarpanlarına ayrılamayacağı varsayımına dayanmaktadır. İki asal sayı, 2.048 bit uzunluğundaysa yeterince güvenli kabul edilir, çünkü bu iki asal sayının çarpımı yaklaşık 1.234 ondalık basamak olacaktır.

Asal Sayılarla İlgili Çözülmüş Örnekler

Örnek 1: 10 bir asal sayı mı?

Çözüm:

Hayır, çünkü 2 veya 5'e, 2×5=10'a ve ayrıca 1'e ve 10'a bölünebilir.

Alternatif olarak,
Yöntem 1'i kullanarak 6n ± 1 şeklinde yazalım.